期望与方差

定义

数学期望（均值）是随机变量的平均值，反映了随机变量取值的集中趋势。

重要性质

• • 线性性：$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$
• • 常数性：$E[c] = c$（c为常数）
• • 独立性：若X,Y独立，则$E[XY] = E[X]E[Y]$
• • 单调性：若$X \leq Y$，则$E[X] \leq E[Y]$

几何意义

期望值是概率分布的"重心"，表示随机变量在长期重复试验中的平均值。

定义

方差衡量随机变量取值相对于期望值的离散程度，反映数据的波动性。

重要性质

• • 非负性：$Var(X) \geq 0$
• • 常数性：$Var(c) = 0$（c为常数）
• • 线性变换：$Var(aX + b) = a^2Var(X)$
• • 独立性：若X,Y独立，则$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$

几何意义

方差表示数据点相对于均值的平均偏离程度，标准差具有与原数据相同的量纲。