概率分布探索

分布介绍

正态分布理论

基本概念

正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是统计学中最重要的连续概率分布。它描述了许多自然现象的分布规律，是概率论和统计学的基石。

历史背景

由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初系统研究，最初用于天文观测误差分析。后来发现它广泛存在于自然界和社会现象中。

应用场景

身高体重分布、智商分数、测量误差、金融收益率、自然现象建模、中心极限定理的基础、质量控制、心理学测试等。

分布函数推导

概率密度函数推导

基本假设

• 误差的分布关于零点对称
• 小误差比大误差更可能出现
• 误差的分布具有最大熵性质

推导过程

基于最大熵原理，在给定均值μ和方差σ²的约束下：

$$\max H(f) = -\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \log f(x) dx$$

约束条件：

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1, \quad \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx = \sigma^2$$

最终结果

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

其中 μ 是均值，σ² 是方差

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$

通过变量替换 u = (x-μ)/σ：

$$E[X] = \mu \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{u^2}{2}} du + \sigma \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{u^2}{2}} du = \mu$$

方差推导

$$Var(X) = E[(X-\mu)^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$

同样通过变量替换：

$$Var(X) = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u^2}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{u^2}{2}} du = \sigma^2$$

重要结论

正态分布N(μ,σ²)的期望为μ，方差为σ²，标准差为σ。这使得正态分布的参数具有直观的统计意义。

重要性质推导

重要性质与定理

对称性与68-95-99.7规则

正态分布关于均值μ对称，且有：

$$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.68$$

$$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.95$$

$$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997$$

线性变换性质

若X ~ N(μ,σ²)，则对于常数a,b：

$$aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$$

可加性

独立正态变量的线性组合仍服从正态分布：

$$X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$$

标准化

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$$

分布介绍

泊松分布理论

基本概念

泊松分布（Poisson Distribution）是一种离散概率分布，用于描述在固定时间间隔或空间区域内，独立随机事件发生次数的概率分布。它是统计学中最重要的分布之一。

历史背景

由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson）在1837年提出，最初用于研究在给定时间内某事件发生的次数。

应用场景

电话呼叫次数、网站访问量、放射性衰变、交通事故、机器故障、DNA变异、排队论、可靠性工程等领域。

分布函数推导

概率质量函数推导

基本假设

• 事件在不相交的时间间隔内独立发生
• 在极短时间dt内，事件发生的概率为λdt
• 在极短时间dt内，事件发生超过一次的概率可忽略

推导过程

设P(k,t)表示在时间t内事件发生k次的概率，则有：

$$P(k,t+dt) = P(k,t)(1-\lambda dt) + P(k-1,t)\lambda dt$$

最终结果

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0,1,2,\ldots$$

其中 λ > 0 是平均发生率参数

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

$$E[X] = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

利用级数展开：

$$E[X] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda$$

方差推导

首先计算E[X(X-1)]：

$$E[X(X-1)] = \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \lambda^2$$

因此：

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = E[X(X-1)] + E[X] - (E[X])^2 = \lambda$$

重要结论

泊松分布的期望和方差都等于参数λ，这是泊松分布的一个重要特征。

重要性质推导

重要性质与定理

可加性

若X₁ ~ Poisson(λ₁)，X₂ ~ Poisson(λ₂)且独立，则：

$$X_1 + X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)$$

二项分布的极限

当n→∞，p→0，np=λ时：

$$\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

正态近似

当λ较大时（通常λ≥20），泊松分布近似正态分布：

$$\text{Poisson}(\lambda) \approx N(\lambda, \lambda)$$

矩母函数

$$M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}$$

分布介绍

指数分布理论

基本概念

指数分布（Exponential Distribution）是一种连续概率分布，用于描述独立随机事件发生的时间间隔。它是唯一具有无记忆性的连续分布，在可靠性工程和排队论中应用广泛。

历史背景

指数分布最早在18世纪被研究，与泊松过程密切相关。它描述了在泊松过程中，连续两个事件之间的等待时间分布。

应用场景

设备寿命分析、服务时间建模、排队等待时间、放射性衰变间隔、电子元件失效时间、网络数据包到达间隔等。

分布函数推导

概率密度函数推导

基本假设

• 事件发生具有无记忆性
• 在任意时间间隔内，事件发生率恒定为λ
• 事件发生相互独立

推导过程

设X表示等待时间，由无记忆性可得：

$$P(X > t+s | X > s) = P(X > t)$$

设F(t) = P(X ≤ t)，则：

$$1 - F(t+s) = [1 - F(t)][1 - F(s)]$$

最终结果

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$

$$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$

其中 λ > 0 是率参数

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

$$E[X] = \int_0^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx$$

使用分部积分法：

$$E[X] = \left[-x e^{-\lambda x}\right]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-\lambda x} dx = \frac{1}{\lambda}$$

二阶矩推导

$$E[X^2] = \int_0^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx$$

再次使用分部积分：

$$E[X^2] = \frac{2}{\lambda^2}$$

方差计算

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}$$

因此，指数分布的期望为1/λ，方差为1/λ²，标准差也为1/λ。

重要性质推导

重要性质与定理

无记忆性

指数分布的核心性质：

$$P(X > s+t | X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$$

这意味着过去的等待时间不影响未来的等待时间。

最小值性质

若X₁, X₂, ..., Xₙ独立且都服从指数分布，则：

$$\min(X_1, X_2, \ldots, X_n) \sim \text{Exp}(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n)$$

与其他分布的关系

• 伽马分布的特例：Exp(λ) = Gamma(1, λ)
• 与泊松过程：事件间隔时间服从指数分布
• 威布尔分布的特例：形状参数为1时

矩母函数

$$M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}, \quad t < \lambda$$

分布介绍

二项分布理论

基本概念

二项分布（Binomial Distribution）是描述n次独立重复的伯努利试验中成功次数的离散概率分布。每次试验只有两种可能结果：成功或失败。

历史背景

由瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在17世纪末提出，是概率论发展史上的重要里程碑，为后续的统计推断奠定了基础。

应用场景

质量控制检验、医学临床试验、市场调研分析、投票预测、 A/B测试、成功率分析、可靠性工程等领域。

分布函数推导

概率质量函数推导

基本设定

• n次独立重复试验
• 每次试验成功概率为p，失败概率为1-p
• X表示n次试验中成功的次数

推导过程

恰好k次成功的概率等于：选择k个位置成功 × 成功k次的概率 × 失败(n-k)次的概率

$$P(X = k) = \text{选择方式数} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$$

其中选择方式数为组合数：

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

最终结果

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

其中 k = 0, 1, 2, ..., n

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

利用指示随机变量方法：

$$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$$

其中X_i为第i次试验的指示变量，E[X_i] = p

$$E[X] = E[X_1 + X_2 + \cdots + X_n] = nE[X_1] = np$$

方差推导

由于各次试验独立：

$$Var(X) = Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = nVar(X_1)$$

对于伯努利变量：Var(X_i) = p(1-p)

$$Var(X) = np(1-p)$$

重要结论

二项分布B(n,p)的期望为np，方差为np(1-p)，标准差为√[np(1-p)]。当p=0.5时方差最大。

重要性质推导

重要性质与定理

伯努利分布的推广

当n=1时，二项分布退化为伯努利分布：

$$B(1,p) = \text{Bernoulli}(p)$$

正态近似

当n足够大且np和n(1-p)都不太小时：

$$B(n,p) \approx N(np, np(1-p))$$

泊松极限

当n→∞，p→0，但np=λ保持常数时：

$$\lim_{n \to \infty} B(n,p) = \text{Poisson}(\lambda)$$

可加性

独立二项变量的和：

$$X_1 \sim B(n_1,p), X_2 \sim B(n_2,p) \Rightarrow X_1 + X_2 \sim B(n_1+n_2,p)$$

分布介绍

均匀分布理论

基本概念

均匀分布（Uniform Distribution）是最简单的连续概率分布，在指定区间[a,b]内每个值出现的概率密度相等，体现了"等可能性"的概念。

历史背景

均匀分布是概率论中最早研究的分布之一，源于古典概率中的 "等可能性假设"。它是现代随机数生成和蒙特卡洛方法的理论基础。

应用场景

随机数生成、蒙特卡洛模拟、几何概率问题、信号处理中的噪声建模、计算机图形学、统计抽样、数值积分等领域。

分布函数推导

概率密度函数推导

基本假设

• 在区间[a,b]内每个点的概率密度相等
• 区间外的概率密度为0
• 总概率为1

推导过程

设概率密度函数为常数c，在区间[a,b]内：

$$\int_a^b c \, dx = 1$$

解得：

$$c \cdot (b-a) = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{b-a}$$

最终结果

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{if } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

累积分布函数：

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & \text{if } a \leq x \leq b \\ 1 & \text{if } x > b \end{cases}$$

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

$$E[X] = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{1}{b-a} \int_a^b x \, dx$$

计算积分：

$$E[X] = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{x^2}{2}\Big|_a^b = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2-a^2}{2} = \frac{a+b}{2}$$

方差推导

先计算E[X²]：

$$E[X^2] = \int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{x^3}{3}\Big|_a^b = \frac{a^2+ab+b^2}{3}$$

然后计算方差：

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{a^2+ab+b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(b-a)^2}{12}$$

重要结论

均匀分布U(a,b)的期望为(a+b)/2（区间中点），方差为(b-a)²/12，标准差为(b-a)/√12。期望是区间的中心，方差与区间长度的平方成正比。

重要性质推导

重要性质与定理

等概率性

区间内任意等长子区间的概率相等：

$$P(c \leq X \leq c+h) = \frac{h}{b-a}, \quad \forall c, c+h \in [a,b]$$

线性变换性质

若X ~ U(a,b)，则Y = cX + d：

$$Y \sim U(ca+d, cb+d) \quad \text{当 } c > 0$$

$$Y \sim U(cb+d, ca+d) \quad \text{当 } c < 0$$

最大熵性质

在有界支撑[a,b]上，均匀分布具有最大熵：

$$H(X) = \log(b-a)$$

随机数生成基础

标准均匀分布U(0,1)是所有其他分布随机数生成的基础，通过逆变换方法可以生成任意分布的随机数。

分布介绍

卡方分布理论

基本概念

卡方分布（Chi-squared Distribution）是k个独立标准正态变量平方和的分布，是统计学中最重要的分布之一，广泛应用于假设检验和置信区间构造。

数学定义

设 Z₁, Z₂, ..., Zₖ 是k个独立的标准正态变量，则：

$$X = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2 \sim \chi^2(k)$$

应用场景

假设检验、方差估计、拟合优度检验、独立性检验、置信区间构造、质量控制、可靠性分析等领域。

分布函数推导

概率密度函数推导

基本推导

通过变量变换和伽马函数的性质，可以得到卡方分布的密度函数：

$$f(x) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2-1} e^{-x/2}, \quad x > 0$$

其中k是自由度，Γ(·)是伽马函数

累积分布函数

$$F(x) = \frac{\gamma(k/2, x/2)}{\Gamma(k/2)}$$

其中γ(s,x)是下不完全伽马函数

与伽马分布的关系

卡方分布实际上是形状参数为k/2，尺度参数为2的伽马分布的特例。

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

设 X = Z₁² + Z₂² + ... + Zₖ²，其中Zᵢ ~ N(0,1)：

$$E[X] = E\left[\sum_{i=1}^{k} Z_i^2\right] = \sum_{i=1}^{k} E[Z_i^2] = \sum_{i=1}^{k} 1 = k$$

因为标准正态变量的平方的期望为1

方差推导

对于独立的标准正态变量Zᵢ，有Var(Zᵢ²) = 2：

$$\text{Var}(X) = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^{k} Z_i^2\right) = \sum_{i=1}^{k} \text{Var}(Z_i^2) = 2k$$

矩母函数

$$M_X(t) = (1-2t)^{-k/2}, \quad t < \frac{1}{2}$$

通过矩母函数可以验证期望和方差的结果。

重要性质推导

重要性质与定理

可加性质

如果X₁ ~ χ²(k₁)，X₂ ~ χ²(k₂)且相互独立，则：

$$X_1 + X_2 \sim \chi^2(k_1 + k_2)$$

这个性质使得卡方分布在统计推断中非常有用

正态近似

当自由度k较大时，卡方分布趋向正态分布：

$$\frac{\chi^2(k) - k}{\sqrt{2k}} \xrightarrow{d} N(0,1)$$

统计应用

• 方差的假设检验和置信区间
• 皮尔逊卡方拟合优度检验
• 列联表独立性检验
• 似然比检验统计量的分布

分布介绍

贝塔分布理论

基本概念

贝塔分布（Beta Distribution）是定义在[0,1]区间上的连续概率分布，由两个正形状参数α和β控制。它是二项分布的共轭先验分布，在贝叶斯统计中应用广泛。

历史背景

贝塔分布最早由欧拉在18世纪研究贝塔函数时发现，后来在20世纪被广泛应用于贝叶斯统计、可靠性工程和质量控制等领域。

应用场景

概率建模、成功率估计、贝叶斯先验分布、项目管理中的完成度建模、质量控制、A/B测试、机器学习中的参数估计等。

分布函数推导

概率密度函数推导

基本假设

• 随机变量X取值在[0,1]区间内
• 分布形状由两个正参数α和β控制
• 具有最大熵性质（在给定矩约束下）

推导过程

贝塔分布的密度函数形式来源于贝塔函数的归一化：

$$B(\alpha,\beta) = \int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx$$

与伽马函数的关系：

$$B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$

最终结果

$$f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \quad 0 \leq x \leq 1$$

其中 α > 0, β > 0 是形状参数

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

$$E[X] = \int_0^1 x \cdot \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} dx$$

利用贝塔函数性质：

$$E[X] = \frac{B(\alpha+1,\beta)}{B(\alpha,\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$

二阶矩推导

$$E[X^2] = \frac{B(\alpha+2,\beta)}{B(\alpha,\beta)} = \frac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}$$

方差计算

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$

贝塔分布的期望为α/(α+β)，方差为αβ/[(α+β)²(α+β+1)]。

重要性质推导

重要性质与定理

对称性

当α = β时，贝塔分布关于x = 0.5对称：

$$\text{Beta}(\alpha,\alpha) \text{ 关于 } x = 0.5 \text{ 对称}$$

特殊情况

均匀分布是贝塔分布的特例：

$$\text{Beta}(1,1) = \text{Uniform}(0,1)$$

共轭先验性质

贝塔分布是二项分布的共轭先验：

$$p \sim \text{Beta}(\alpha,\beta), \quad X|p \sim \text{Binomial}(n,p)$$

$$p|X \sim \text{Beta}(\alpha+x, \beta+n-x)$$

变换性质

若X ~ Beta(α,β)，则1-X ~ Beta(β,α)：

$$X \sim \text{Beta}(\alpha,\beta) \Rightarrow 1-X \sim \text{Beta}(\beta,\alpha)$$

分布介绍

伽马分布理论

基本概念

伽马分布（Gamma Distribution）是定义在正实数上的连续概率分布，由形状参数α和尺度参数β（或率参数λ）控制。它是指数分布的推广，在可靠性分析、排队论和贝叶斯统计中应用广泛。

历史背景

伽马分布由欧拉在研究伽马函数时发现，后来被泊松、皮尔逊等数学家进一步发展。它在20世纪被广泛应用于生存分析、可靠性工程和统计物理学等领域。

应用场景

等待时间建模、可靠性分析、降雨量建模、收入分布、贝叶斯统计中的共轭先验、机器学习中的正则化、排队论中的服务时间建模等。

分布函数推导

概率密度函数推导

基本假设

• 随机变量X取值在(0,+∞)区间内
• 分布形状由形状参数α > 0控制
• 分布尺度由尺度参数β > 0控制

推导过程

伽马分布的密度函数形式来源于伽马函数的归一化：

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} dt$$

通过变量替换t = x/β得到：

$$\int_0^{\infty} \left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1} e^{-x/\beta} \frac{dx}{\beta} = \Gamma(\alpha)$$

最终结果

$$f(x) = \frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}, \quad x > 0$$

其中 α > 0 是形状参数，β > 0 是尺度参数

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

$$E[X] = \int_0^{\infty} x \cdot \frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta} dx$$

利用伽马函数性质：

$$E[X] = \frac{\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} = \alpha\beta$$

二阶矩推导

$$E[X^2] = \frac{\beta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2)}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} = \alpha(\alpha+1)\beta^2$$

方差计算

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \alpha(\alpha+1)\beta^2 - (\alpha\beta)^2 = \alpha\beta^2$$

伽马分布的期望为αβ，方差为αβ²。

重要性质推导

重要性质与定理

可加性

独立伽马随机变量的和仍为伽马分布：

$$X_1 \sim \Gamma(\alpha_1,\beta), X_2 \sim \Gamma(\alpha_2,\beta) \Rightarrow X_1+X_2 \sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2,\beta)$$

特殊情况

指数分布是伽马分布的特例：

$$\Gamma(1,\beta) = \text{Exponential}(\lambda), \quad \lambda = 1/\beta$$

卡方分布也是伽马分布的特例：

$$\chi^2(n) = \Gamma(n/2, 2)$$

共轭先验性质

伽马分布是泊松分布的共轭先验：

$$\lambda \sim \Gamma(\alpha,\beta), \quad X|\lambda \sim \text{Poisson}(\lambda)$$

$$\lambda|X \sim \Gamma(\alpha+\sum x_i, \beta+n)$$

尺度变换性质

若X ~ Γ(α,β)，则cX ~ Γ(α,cβ)：

$$X \sim \Gamma(\alpha,\beta) \Rightarrow cX \sim \Gamma(\alpha,c\beta)$$

分布介绍

t分布理论

基本概念

t分布（Student's t-distribution）是一种连续概率分布，由自由度参数ν控制。它是正态分布的推广，当样本量较小或总体方差未知时，用于统计推断和假设检验。

历史背景

t分布由威廉·戈塞特（William Gosset）在1908年以笔名"Student" 发表，因此也称为Student's t分布。它解决了小样本统计推断的问题，在现代统计学中具有重要地位。

应用场景

小样本均值检验、置信区间估计、回归分析中的参数检验、配对样本t检验、独立样本t检验、单样本t检验、贝叶斯统计中的先验分布等。

分布函数推导

概率密度函数推导

基本假设

• Z ~ N(0,1)，标准正态分布
• V ~ χ²(ν)，卡方分布，自由度为ν
• Z和V相互独立

推导过程

t分布定义为：

$$T = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}$$

利用变量变换和雅可比行列式：

$$f_T(t) = \int_0^{\infty} \sqrt{\frac{v}{\nu}} \cdot \phi(t\sqrt{\frac{v}{\nu}}) \cdot \frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)} v^{\nu/2-1} e^{-v/2} dv$$

最终结果

$$f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\nu/2)} \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}$$

其中 ν > 0 是自由度参数

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

由于t分布关于0对称：

$$E[T] = \int_{-\infty}^{\infty} t \cdot f(t) dt = 0$$

当ν > 1时，期望存在且为0。

方差推导

利用对称性和积分计算：

$$Var(T) = E[T^2] = 2\int_0^{\infty} t^2 \cdot f(t) dt$$

通过复杂的积分计算得到：

$$Var(T) = \frac{\nu}{\nu-2}, \quad \nu > 2$$

高阶矩

奇数阶矩为0（对称性）：

$$E[T^{2k+1}] = 0, \quad k = 0,1,2,...$$

偶数阶矩存在当且仅当ν大于相应阶数。

重要性质推导

重要性质与定理

渐近性质

当自由度趋于无穷时，t分布收敛到标准正态分布：

$$\lim_{\nu \to \infty} t_{\nu} \to N(0,1)$$

对称性

t分布关于0对称：

$$f(-t) = f(t), \quad P(T \leq -t) = P(T \geq t)$$

尾部性质

t分布比正态分布有更厚的尾部：

$$P(|T| > k) > P(|Z| > k), \quad k > 0$$

这使得t分布对异常值更加稳健。

平方关系

t分布的平方与F分布相关：

$$T^2 \sim F(1,\nu), \quad T \sim t(\nu)$$

样本均值分布

小样本均值的标准化统计量：

$$\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$$

分布介绍

F分布理论

基本概念

F分布（F-distribution）是一种连续概率分布，由两个自由度参数ν₁和ν₂控制。它是两个独立卡方分布比值的分布，广泛应用于方差分析和假设检验。

历史背景

F分布由罗纳德·费舍尔（Ronald Fisher）在1920年代发展，因此以他的姓氏命名。它在方差分析（ANOVA）、回归分析和假设检验中发挥着核心作用。

应用场景

方差分析（ANOVA）、回归分析的显著性检验、方差齐性检验、模型比较、线性回归的F检验、多元统计分析、质量控制等。

分布函数推导

概率密度函数推导

基本假设

• U ~ χ²(ν₁)，卡方分布，自由度为ν₁
• V ~ χ²(ν₂)，卡方分布，自由度为ν₂
• U和V相互独立

推导过程

F分布定义为：

$$F = \frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}$$

利用变量变换和雅可比行列式：

$$f_F(x) = \int_0^{\infty} \frac{v}{\nu_2} \cdot f_U\left(\frac{xv}{\nu_2}\nu_1\right) \cdot f_V(v) dv$$

最终结果

$$f(x) = \frac{\Gamma((\nu_1+\nu_2)/2)}{\Gamma(\nu_1/2)\Gamma(\nu_2/2)} \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\nu_1/2} \frac{x^{\nu_1/2-1}}{(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}x)^{(\nu_1+\nu_2)/2}}$$

其中 x > 0，ν₁ > 0，ν₂ > 0 是自由度参数

期望方差推导

数字特征推导

期望值推导

利用F分布的定义和卡方分布的性质：

$$E[F] = E\left[\frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\right] = \frac{\nu_2}{\nu_1} \cdot E[U] \cdot E\left[\frac{1}{V}\right]$$

当ν₂ > 2时：

$$E[F] = \frac{\nu_2}{\nu_2-2}, \quad \nu_2 > 2$$

方差推导

通过复杂的积分计算：

$$Var(F) = \frac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)}$$

当ν₂ > 4时方差存在。

众数

当ν₁ > 2时，F分布的众数为：

$$\text{Mode} = \frac{\nu_2(\nu_1-2)}{\nu_1(\nu_2+2)}, \quad \nu_1 > 2$$

重要性质推导

重要性质与定理

倒数性质

F分布的倒数仍为F分布：

$$F \sim F(\nu_1,\nu_2) \Rightarrow \frac{1}{F} \sim F(\nu_2,\nu_1)$$

与t分布的关系

t分布的平方与F分布相关：

$$T^2 \sim F(1,\nu), \quad T \sim t(\nu)$$

渐近性质

当ν₂ → ∞时：

$$\nu_1 F(\nu_1,\nu_2) \to \chi^2(\nu_1)$$

分位数关系

F分布的分位数满足：

$$F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2) = \frac{1}{F_{\alpha}(\nu_2,\nu_1)}$$

方差比检验

两个独立正态总体方差比的分布：

$$\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1)$$

常见概率分布

正态分布

泊松分布

指数分布

二项分布

均匀分布

卡方分布

贝塔分布

t分布

伽马分布

F分布

拓展概率分布

狄利克雷分布

威布尔分布

对数正态分布

帕累托分布

拉普拉斯分布

逆伽马分布

交互式分布探索

参数控制

统计特性

正态分布

分布信息

理论知识深入探索

正态分布理论

基本概念

历史背景

应用场景

概率密度函数推导

基本假设

推导过程

最终结果

数字特征推导

期望值推导

方差推导

重要结论

重要性质与定理

对称性与68-95-99.7规则

线性变换性质

可加性

标准化

泊松分布理论

基本概念

历史背景

应用场景

概率质量函数推导

基本假设

推导过程

最终结果

数字特征推导

期望值推导

方差推导

重要结论

重要性质与定理

可加性

二项分布的极限

正态近似

矩母函数

指数分布理论

基本概念

历史背景

应用场景

概率密度函数推导

基本假设

推导过程

最终结果

数字特征推导

期望值推导

二阶矩推导

方差计算

重要性质与定理

无记忆性

最小值性质

与其他分布的关系

矩母函数

二项分布理论

基本概念

历史背景

应用场景