从不确定性中提炼数学对象 - 通过交互式可视化，深入理解随机变量的本质和特性
通过交互模拟，直观感受什么是随机变量及其分布，理解它如何将随机现象"数字化"
我们有一个幸运大转盘，被划分为不同颜色的区域，每个区域对应不同的中奖金额。每次转动转盘都是一个随机现象。
他们立刻理解：随机变量X（如中奖金额）是一个函数，它将随机现象的所有可能结果（转盘区域）映射到实数上。而直方图展示的稳定形态，就是这个随机变量的概率分布的直观体现。
随着转动次数增加，直方图中各柱子的高度比例会逐渐稳定在设置的概率附近，这就是大数定律的体现。
随机变量是将样本空间中的每一个结果，映射到一个实数的函数
样本空间 Ω = {正面, 反面}
随机变量 X: 正面→1, 反面→0
随机变量是从样本空间 $\Omega$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 的函数。
将理论概念分解为循序渐进的模块，辅以可视化工具，让用户自主探索
离散型随机变量只能取有限个或可数无限个值，如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
其中 $X$ 是离散随机变量，$x_i$ 是其可能取值，$p_i$ 是对应的概率。
期望值是随机变量所有可能取值的加权平均。
方差衡量随机变量取值的离散程度。
对于两个骰子的点数和，$P(X = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$（最大概率）
概率质量函数(PMF)描述了离散随机变量在各个可能取值上的概率。上图展示了两个骰子点数和的概率分布。
连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，如身高、体重、时间等。
其中 $f(x)$ 是概率密度函数，满足 $f(x) \geq 0$ 且 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$。
随着样本数量增加，样本均值会趋近于理论期望值。
概率密度函数(PDF)描述了连续随机变量的概率分布。上图展示了不同分布类型的样本直方图与理论密度曲线。
随机变量的数字特征（如期望、方差、标准差）提供了对其分布的重要描述。调整参数，观察这些特征的变化。
期望值具有线性性质。
标准差 $\sigma$ 是方差的平方根。
期望值表示随机变量的平均值，方差和标准差则描述了随机变量取值的离散程度。上图展示了不同参数下的概率密度函数和期望值位置。
通过具体的应用案例，理解随机变量在金融、游戏设计等领域的重要作用
你持有两种资产：股票A和债券B。设未来一年的收益率为随机变量，分析投资组合的风险和收益。
通过真实场景的模拟，理解随机变量在金融、游戏等领域的实际应用
假设您有一个投资组合，包含股票A和股票B。每只股票的日收益率都服从正态分布，我们来模拟投资组合的风险。
设计一个RPG游戏的装备掉落系统，不同稀有度的装备有不同的掉落概率，我们来分析玩家获得稀有装备的期望。
通过交互式练习题，检验您对随机变量概念的理解和掌握程度
设随机试验为"掷一枚硬币3次"，样本空间为Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}。 定义随机变量X为"3次投掷中正面朝上的次数"，请选择X的所有可能取值：
某彩票的中奖规则如下：以概率0.7不中奖（获得0元），以概率0.2中小奖（获得10元），以概率0.1中大奖（获得100元）。 请计算购买一张彩票的期望收益：
有两个随机变量X和Y，它们的期望值都是10，但X的方差是4，Y的方差是16。 关于这两个随机变量，下列说法正确的是：